作家：郑豪（清华大学数学科学系助理磋议员）

《射雕勇士传》第29章“黑沼隐女”，描摹了一位原为大理国皇妃、后隐居黑沼的女子——瑛姑（刘瑛）。瑛姑混名“神算子”，多年来独自隐居茅舍，潜心钻研多样算题。瑛姑的故事诚然出自演义家的向壁诬捏，却从一个侧面秘籍地反馈了中国古代算学的配置。书中的这一段描摹，不失为了解中国古代算学配置的一个进口。

据《射雕勇士传》描摹，郭靖和黄蓉两东说念主走进堂中，“只见刻下一张长桌，上头放着七盏油灯，排成天罡北斗之形。地下蹲着一个头发斑白的女子，身披麻衫，凝目瞧着地下一根根的精深竹片”。这些竹片“长约四寸，阔约二分，知是计数用的算子”。这里的“算子”，即是中国古代的记数器具——算筹。

“算”，在中国古代有三种写法：筭、算、祘。筭，《说文解字》解释为“长六寸，计历数者。言常弄乃不误也”。筭是一个会意字，由“竹”和“弄”两部分组成，指的是一种六寸长的竹制磋磨器具。算，《说文解字》解释为“数（shù）也。从竹从具，读若筭”。算亦然一个会意字，由“竹”和“具”两部分组成。段玉裁注讲明：“从竹者，谓必用筭以计也；从具者，具数也。”也即是从磋磨器具演变为应用的历程。祘字较为晚出，由两个“示”字合并而成。《说文解字》解释说：“明視以筭之。”对于“示”，许慎又解释说：“垂象，见福祸，是以示东说念主也。从二。三垂，日月星也。不雅乎天文，以察时变。示，神事也。”也即是把上天的某种状况显表露来的有趣。

“算”字的三种写法，是咱们相识中国古代算学配置的一把钥匙。其一，它标明竹制的算筹是中国古代的记数器具。这与古希腊的作念法天差地远。古希腊使用小石子记数，古希腊语的“碎石”其后演变为拉丁语中的Calculus，也即是当天英文Calculation一词的词源。其二，“算”同“祘”，后者从示，有着象神的含义，标明磋磨一事可由神明来考据。在某种道理上，中国古代的算学亦然一种“通天”之学，但与古希腊毕达哥拉斯所说的“万物齐数”又有所区别。其三，算筹记数，使用十进位值制，便于磋磨。五以下的数量，径直用几根筹示意；五以上的数量，则用一根筹放在上头，余下的每一根筹示意一。示意数量，又有纵式和横式两种方式。示意多位数时，则要使列位数指标筹式纵横相间。数字有空位时，则不放算筹（中国古代莫得示意数字0的记号）。这种吞并数码在不同位置（数位）产生不同位置值（也叫权）的轨制，被称作“位值制”。算筹记数采纳十进位值制，既较古巴比伦东说念主的六十进制为优，又较古印度东说念主的十进位值制要早（迟至6世纪末），不错说是中国古代算学获得光泽配置的周折基础之一。

宋朝昔时，中国长久使用算筹磋磨，称为“贪图”。宋朝以后，算盘磋磨缓缓得到实践和诈欺，称为“珠算”。明朝以后，贪图才被珠算所替代。如今中小学数学教会常用的笔算，骨子上是来自西方系统的番邦货，迟至1910年代才缓缓得到平庸的应用。贪图长久在磋磨中占据主要隘位，应与古东说念主的生存风俗筹商。古东说念主起步当车，当场布毡，使用算筹越过浅易。宋朝以后，垂足坐的起居方式冉冉实践，这时贪图就显得不够浅易了，与桌案相稳妥的珠算当然应时而生。

对于算筹的形制大小，《射雕勇士传》说“长约四寸，阔约二分”，骨子上这是被修订后的格式。《汉书·律历志》：“算法用竹，径一分，长六寸，二百七十一枚而成六觚，为一捏。”这里的“一分”应为“三分”之误。可见汉代以“长六寸、阔三分”为算筹的标准形制。汉代一尺约为23.1厘米，六寸为13.86厘米，菲律宾修车群三分为0.693厘米。北周甄鸾《数术记遗》：“积算，今之常算是也。以竹为之。长四寸以效四时，方三分以象三才。”其后《隋书·律历志》也说：“其算用竹，广二分，长三寸。”隋代一尺约为29.5厘米，四寸为11.8厘米，三寸为8.85厘米，三分为0.885厘米。算筹的长度缓缓改得短小，当然更便利于诈欺与佩戴。至于“四时”与“三才”之说，则是天东说念主交感不雅念在算数之学中又一反馈。

《射雕勇士传》中还波及九宫图（幻方）问题。开首出现的是“三阶幻方”——九宫图，行将1至9这9个数字排成3列，每行、每列、每条对角线上的3个数字之和都等于15。黄蓉给出的谜底是：“九宫之义，法以灵龟，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。”骨子上，这一解答渊源有自，并非出自黄蓉的原创。

中国最早的“幻方”，被称作“洛书”，与“河图”并称。相传洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹。大禹依此治水告捷，分辩天地为九囿。又依此定九章大法，经管社会，此即《尚书·洪范》之原来。《易·系辞上》：“河出图，洛出版，圣东说念主则之。”由此河图洛书成为中中文化之源，亦成为经管天地的基本依据。这是中国古代算学与神明之事关系联的又一例证。汉代把洛书的图形数字称为“九宫算”，又称为“纵横图”。北周甄鸾在《数术记遗》中对“九宫算”的图形数字作念过追忆，造成了黄蓉所说的四字歌诀。这个歌诀，骨子上反馈了三阶幻方的基本方式。

在《续古摘奇算法》一书中，杨辉最早对纵横图过甚组成章程作念出了议论。该书分为高下两卷，下卷摘引各样算书中的“奇题”进行磋议（故名之），上卷则特意盘问20个纵横图。第一为河图，第二为洛书，接着是四四、五五、六六、衍数、易数图各2个，九九、百子图各1个，临了有“攒九”幻圆和“聚五”“聚六”“聚八”“八阵”“连环”异形幻圆。

对于三阶幻方生成方法与布局的口诀，杨辉的说法更胜一筹：“九子斜排，高下对易。傍边相更，四维挺出。戴九履一，左三右七。二四为肩，六八为足。”后四句指的即是“洛书”。把1到9这9个数按模范斜排，然后“高下对易”，将1和9对调，接着“傍边相更”，将7和3互换，临了“四维挺出”，将四面中间的数2，4，6，8向外挺出。前四句则说念出了三阶乃至任何奇阶幻方的构造设施。“洛书”的图案不外是三阶幻方最为常见的一种方式。骨子上，要使纵、横、斜三线上的三个数相加为15，只可推算出8种可能。要使三阶幻方建设，就只可把5放在中间的方格，将1、3、7、9放在靠边的四个方格，将2、4、6、8放在四角的方格。这即是三阶幻方的基本方式，只好1种。通过方阵的旋转与映射，不错得到8种幻化，但它们都是同构的。

时于当天，幻方不错实践到广义幻方、幻体、双随即矩阵等方面，在坐蓐生存中得到了平庸应用，不仅诈欺于实验设想、纺织、工艺好意思术、设施设想、航运、建筑设想等领域，况兼还与现在大热的东说念主工智能深度纠合。此外，幻方横、竖、纵都散播均衡的特质，对保持社会乃至生态的均衡不无启示道理。由此看来，古东说念主以为河图洛书包含了治国理政的基本道理，并非天方夜谭，而是蕴含着中华英才对数理与时空不雅念的潜入想考。纵横图对骨子的生存应用问题莫得匡助，杨辉特意列出一卷盘问纵横图的作念法诚然有些独到，但仔细想来，它又是对宏不雅层面的天东说念主关系与治国纲目的一种反馈，并非地说念逻辑推理与演绎的服从。

《光明日报》（2025年12月06日 11版）好看大秀直播